Два слова, которые путают все
«Делитель» и «кратное» вводятся на одном уроке, звучат похоже и описывают одну и ту же пару чисел с разных сторон. Неудивительно, что к концу недели ребёнок называет делителем то, что кратно, и наоборот.
Разводится это не определениями, а одной фразой, которую стоит сказать до всяких терминов: делитель — это тот, на кого делят, кратное — это то, что получается умножением. Делитель всегда меньше или равен числу, кратное всегда больше или равно.
Проверить, готов ли ребёнок к теме, проще всего практикой деления: в игре «Делим с остатком» надо не просто разделить, а увидеть, сколько осталось. Если остаток ноль — делитель найден, если нет — не найден. Вся тема делителей стоит на этом различении, и без него разговор пойдёт вхолостую.
Второе, что помогает сразу: показать, что речь всегда о паре. 12 и 3 связаны одним фактом — 12 делится на 3. С точки зрения тройки: 12 кратно трём. С точки зрения двенадцати: 3 — делитель двенадцати. Факт один, названия два, и зависят они от того, о каком числе речь.
Картинка, которая всё расставляет
Самый наглядный заход — прямоугольники из клеток. Возьмите двенадцать клеток и попросите сложить из них прямоугольник. Получится 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 — и всё.
Стороны этих прямоугольников и есть делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Больше никаких прямоугольников из двенадцати клеток не выйдет, сколько ни пробуй, — и это первый важный вывод: делителей у числа конечное количество.
Теперь наоборот: возьмите тройку и выкладывайте прямоугольники шириной в три клетки. 3, 6, 9, 12, 15, 18… — и конца этому нет. Это кратные тройки, и их бесконечно много.
Разница «конечное — бесконечное» запоминается лучше любых определений и сама по себе служит проверкой: если ребёнок говорит, что кратных у числа семь штук, значит он назвал делители.
Как перебирать делители, ничего не пропуская
Задание «найди все делители числа 36» дети выполняют вразнобой и половину теряют. Помогает приём, в котором делители ищутся парами.
Идём по порядку от единицы и каждый раз записываем сразу два числа — делитель и его напарника.
36 : 1 = 36 — записали 1 и 36.
36 : 2 = 18 — записали 2 и 18.
36 : 3 = 12 — записали 3 и 12.
36 : 4 = 9 — записали 4 и 9.
36 : 5 — не делится, пропускаем.
36 : 6 = 6 — записали 6, напарник тот же самый.
На этом можно остановиться: пары начали смыкаться. Дальше пойдут те же числа с другой стороны — 9, 12, 18, 36 уже записаны. Получилось: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Правило остановки формулируется просто: считаем, пока делитель не встретился со своим напарником. Это и есть момент, когда все пары найдены, и после него перебирать бессмысленно.
Проверять каждое число делением долго, и здесь очень выручают признаки делимости: на 2, 5 и 10 видно по последней цифре, и половина перебора отпадает мгновенно.
Простые и составные числа
Как только делители научились находить, само собой всплывает наблюдение: у некоторых чисел делителей всего два — единица и оно само. У семёрки: 1 и 7. У тринадцати: 1 и 13.
Такие числа называются простыми, и определение стоит дать именно так, через опыт перебора, а не наоборот. Ребёнок, который сам перебрал делители десятка чисел, понимает простые числа сразу; тому, кому определение дали первым, приходится верить на слово.
Числа с бо́льшим числом делителей — составные. Отдельно проговорите единицу: у неё делитель один, поэтому она не простая и не составная. Это исключение, и вопрос про него на контрольных встречается регулярно.
Хорошее домашнее занятие на десять минут — «решето»: выписать числа от 1 до 30 и вычёркивать те, у которых нашёлся третий делитель. Что останется, то и простые. Работа руками, и результат виден целиком.
Общий делитель и общее кратное
Следующий шаг темы — когда чисел два, и надо найти то, что у них общее. Здесь тоже путаница, и лечится она тем же приёмом: сначала выписать оба списка целиком, а потом посмотреть глазами.
Пример на 12 и 18. Делители двенадцати: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Делители восемнадцати: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Общие сразу видны — 1, 2, 3, 6, а наибольший из них шесть. Никакой отдельной формулы для этого не нужно, нужно два аккуратных списка.
С кратными так же, только списки бесконечные и потому обрываются, как только нашлось совпадение. Кратные четырёх: 4, 8, 12, 16, 20, 24. Кратные шести: 6, 12, 18, 24. Первое общее — двенадцать, и дальше выписывать незачем.
Способ со списками медленный, зато честный: ребёнок видит, откуда берётся ответ. Быстрые приёмы через разложение на множители появятся в пятом классе, и к ним стоит приходить, уже понимая, что именно ищется.
Где обычно ломается
Делители называют кратными. На вопрос «назови делители шести» ребёнок отвечает «6, 12, 18». Лечится проверкой на количество: делителей конечное число, кратных бесконечно. Если ответ можно продолжать — названы кратные.
Забывают единицу и само число. Самые очевидные делители теряются чаще всего, потому что кажутся не настоящими. Помогает приём с парами: единица идёт первой и сразу тянет за собой напарника.
Перебирают до самого числа. Ребёнок честно делит 36 на все числа до 36 и тратит десять минут. Правило остановки надо проговорить отдельно, иначе оно не появится само.
Путают «кратно» и «делится». На самом деле это одно и то же с разных сторон: «12 кратно 3» и «12 делится на 3» — одна фраза в двух видах. Скажите это прямо, дети часто ищут разницу там, где её нет.
Зачем это нужно дальше
Тема выглядит отвлечённой, пока не доходит до дробей. Сокращение дроби — это поиск общего делителя числителя и знаменателя, и ребёнок, который делители находить не умеет, сокращает наугад.
Второе применение — приведение дробей к общему знаменателю: там нужно общее кратное, и ищут его по тому же списку, только с другой стороны.
Третье, самое житейское: разделить поровну. Двенадцать конфет на троих делятся, на пятерых нет — и это ровно вопрос о делителях. Такие примеры стоит проговаривать вслух, они закрепляют тему лучше упражнений.
Как проверить, что тема усвоена
Первая проверка — на скорость и на форму ответа. «Назови делители двадцати» должно вызывать перебор парами, а не молчание. Ответ 1, 2, 4, 5, 10, 20 — тема стоит.
Вторая, более строгая: спросить, сколько делителей у числа и сколько кратных. Если ребёнок отвечает «делителей шесть, а кратных сколько угодно» — понятия разведены по-настоящему.
Третья — обратная задача: «я задумал число, у него ровно два делителя, какое оно может быть?» Тут ребёнок должен вспомнить про простые числа и назвать любое из них.
Как закрепить в играх
Перебор делителей делается на бумаге, но два навыка под ним отрабатываются быстрее на экране.
«Делим с остатком» — самая близкая по смыслу: делитель найден тогда, когда остаток равен нулю, и игра тренирует ровно это различение.
«Таблица умножения» нужна как основа: перебор делителей идёт со скоростью, с которой ребёнок вспоминает таблицу, и медленная таблица делает задание мучительным.
«Что лишнее?» тренирует поиск общего признака у группы чисел — тот же ход мысли, что и при поиске общего делителя.
«Сравни выражения» держит счёт в уме быстрым, а без беглого счёта перебор превращается в долгую работу.
Что распечатать
Признаки делимости на 2, 5 и 10 — прямая подготовка: половина перебора отсекается по последней цифре, и делать это надо не считая.
Деление с остатком закрепляет главное различение темы: остаток ноль — делитель, остаток не ноль — не делитель.
Умножение и деление пригодится как основа: перебор идёт со скоростью таблицы умножения.
Главное
Делитель — тот, на кого делят; кратное — то, что получается умножением. Делитель меньше или равен числу, кратное больше или равно.
Делителей у числа конечное количество, кратных бесконечно много. Это различие само работает проверкой ответа.
Делители перебираются парами от единицы, и остановиться нужно там, где делитель встретился со своим напарником.
Простые числа — те, у которых делителей ровно два. Единица не простая и не составная: у неё делитель один.
