Почему у одного примера два разных ответа
Пример «2 + 3 × 4» даёт 20, если считать слева направо, и 14, если сначала умножить. Ребёнок, который до этого решал только цепочки сложений, естественно считает слева направо — так его и учили весь первый класс. Ошибкой это становится ровно в тот день, когда в примерах появляется умножение.
Поэтому объяснение стоит начинать не с правил, а с этого расхождения. Напишите пример и посчитайте его при ребёнке двумя способами. Получите два разных числа. Спросите: какой ответ правильный? Правильного нет — пока люди не договорились, в каком порядке считать. Правило порядка действий и есть такая договорённость, чтобы все получали одно и то же.
Такое начало снимает главный вопрос «почему нельзя просто слева направо». Ребёнок видит, что дело не в вредности учебника, а в том, что без общего порядка запись становится двусмысленной.
Прежде чем браться за порядок, убедитесь, что само умножение идёт без запинки. Если таблица ещё вспоминается по несколько секунд, ребёнок будет тратить всё внимание на неё, а на порядок его не останется. Проверить проще всего в игре «Таблица умножения»: когда ответы приходят сразу, можно двигаться дальше.
Правило в трёх строчках
Для начальной школы весь порядок укладывается в три пункта, и заучивать их надо именно в этом виде:
- сначала действия в скобках;
- потом умножение и деление — слева направо;
- потом сложение и вычитание — слева направо.
Две детали, которые обычно проглатывают. Первая: умножение и деление равны между собой, и между ними порядок именно слева направо, а не «сначала всё умножение». В примере «12 : 3 × 2» ответ 8, а не 2. Вторая: то же самое со сложением и вычитанием. «10 − 4 + 3» равно 9, а не 3.
Эти два случая стоит разобрать отдельно и дать по три-четыре примера на каждый. Именно там теряются дети, которые правило выучили: они помнят «умножение раньше сложения» и достраивают несуществующее «деление позже умножения».
Приём, который решает половину проблемы
Работающая привычка одна: перед тем как считать, расставить над знаками номера действий. Не в уме, а карандашом.
Пример: 30 − (4 + 2) × 3. Ребёнок ставит единицу над плюсом в скобках, двойку над умножением, тройку над вычитанием. И только после этого начинает считать. Три секунды на разметку экономят переделывание всего примера.
Смысл приёма в том, что он разводит два разных действия: решить, в каком порядке считать и посчитать. Пока ребёнок делает и то и другое одновременно, он сбивается: сосредоточился на вычислении — забыл про скобки.
Первые две недели требуйте нумерацию в каждом примере, даже в самом простом. Дальше она уйдёт сама там, где не нужна, но останется в длинных примерах — а именно в них и происходят ошибки.
Второй полезный ход — записывать промежуточные результаты под примером в столбик, а не переписывать весь пример заново. Ребёнок видит, какие шаги уже сделаны, и не теряет их. Это же пригодится позже, когда появятся многозначные числа и деление уголком: там без записи промежуточных шагов вообще не обойтись.
Зачем нужны скобки
Отдельно объясните, зачем скобки существуют. Формально они «меняют порядок», но за этим стоит простая мысль: скобки нужны, когда обычного порядка не хватает, чтобы записать то, что имеешь в виду.
Возьмите бытовую задачу: у нас было 20 рублей, мы купили две булки по 6 рублей — сколько осталось? Запись «20 − 6 × 2» работает без скобок, потому что умножение и так идёт первым. А теперь другая: мама дала 20 рублей и папа дал 10, всё это разделили на двоих. Здесь нужно сначала сложить, и без скобок никак: (20 + 10) : 2.
После пары таких примеров скобки перестают быть значком из учебника и становятся инструментом. Полезно попросить ребёнка самого придумать задачу, для записи которой скобки нужны, — это лучшая проверка, что мысль дошла.
Где обычно ломается
Первое — «сначала всё умножение, потом всё деление». Разбирается примерами вида «24 : 4 × 2» и «5 × 6 : 3». Проговорите вслух: они в одной команде, идём по очереди слева направо.
Второе — вычитание после сложения. «15 − 3 + 5»: ребёнок складывает 3 и 5, потом вычитает и получает 7 вместо 13. Тот же приём: одна команда, слева направо.
Третье — скобки внутри скобок. В начальной школе встречаются редко, но пугают сильно. Правило то же: начинаем с самых внутренних. Достаточно одного разобранного примера, чтобы страх ушёл.
Четвёртое — арифметика вместо порядка. Если ребёнок правильно расставил номера, но ошибся в счёте, это не тема порядка действий, а устный счёт. Тогда работать надо с ним отдельно — как именно, разобрано в статье про приёмы устного счёта.
Пятое — длина примера. В четыре действия ребёнок обычно справляется, в шесть начинает терять. Это нормально: держать в голове длинную цепочку тяжело. Помогает та же нумерация плюс правило «не переписывай пример целиком, записывай результат шага».
Когда тема идёт по программе
Порядок действий появляется во втором классе — сразу после того, как введено умножение, — и дальше сопровождает ребёнка до конца школы. В начальной школе от него требуется немного: скобки, четыре арифметических действия, примеры длиной до четырёх-пяти шагов. Всё сложное — степени, дроби в одном примере, несколько уровней скобок — придёт в средней школе.
Из этого следует практический вывод: гнать не нужно. Если ребёнок к концу второго класса уверенно считает примеры в три действия со скобками, темп нормальный. Ошибки в этот период почти всегда об одном — правило выучено как слова, но не превращено в привычку размечать пример. Привычка ставится за две-три недели ежедневных пяти примеров, и это лучшее вложение времени в теме.
Как тренировать
По объёму: пять-шесть примеров за подход, не больше. Порядок действий — тема на внимание, и после десятого примера ребёнок расставляет номера механически.
Полезное упражнение «поставь скобки». Дайте пример без скобок и ответ, который без них не получается: «12 − 4 × 2 = 16». Задача — расставить скобки так, чтобы равенство стало верным. Это обратная задача, и она требует понимания, а не заучивания.
Второе упражнение — «найди ошибку». Напишите решённый пример с ошибкой в порядке и попросите найти, на каком шаге всё пошло не так. Разбирать чужую ошибку легче и полезнее, чем свою: нет обиды.
Третье — числовые пирамиды и цепочки, где результат одного шага становится началом следующего. Там порядок задан самой формой записи, и ребёнок привыкает считать шагами, а не всё сразу.
Как закрепить в играх
Экраном тренируется не сам порядок, а то, без чего он не работает: скорость вычислений. Пока каждое действие стоит усилия, на порядок внимания не хватает.
Игра «Реши пример» держит счёт в пределах сотни и приучает отвечать быстро. Игра «Состав числа» закрывает более раннюю дыру: ребёнок, который не видит, из чего складывается число, считает медленно на каждом шаге.
Остальные математические игры — в разделе «Счёт и цифры», подборка по возрасту — на странице игр для восьми лет.
Что распечатать
Порядок действий отрабатывается только письменно: номера над знаками ставятся карандашом, и в этом весь смысл.
- Порядок действий со скобками — примеры от двух действий к четырём, с местом для разметки.
- Числовые пирамиды до 100 — здесь порядок задан формой: каждый шаг опирается на предыдущий.
- Цепочки примеров — тот же принцип по-другому: результат переходит в следующее действие.
Больше листов по математике — в разделе «Математика».
Главное
Порядок действий — это договорённость, а не свойство чисел, и объяснять его лучше через пример с двумя разными ответами. Правило укладывается в три строки, но отдельно надо отработать два случая: деление наравне с умножением и вычитание наравне со сложением, оба — слева направо. Главная привычка — расставлять номера действий карандашом до начала счёта. И если ошибки на самом деле в арифметике, а не в порядке, лечить надо устный счёт, а не переписывать правило.
