Задача, в которой не хватает числа
«За 4 тетради заплатили 80 рублей. Сколько заплатят за 7 таких тетрадей?» Ребёнок читает условие, видит числа 4, 80 и 7 — и начинает пробовать: то 80 разделить на 7, то 80 умножить на 7, то 7 минус 4. Все три попытки одинаково безнадёжны, потому что нужного числа в условии просто нет.
Нужное число — цена одной тетради. Её никто не назвал, но её можно найти: 80 разделить на 4, получится 20. И вот теперь задача становится обычной: семь тетрадей по двадцать рублей — это 140.
Такие задачи называются задачами на приведение к единице, и весь их смысл в этом промежуточном шаге. Сначала находим, сколько приходится на одного (на одну тетрадь, на один день, на одного человека), потом умножаем на нужное количество. Два действия, и порядок между ними не переставить.
Трудность не в арифметике: делить на 4 и умножать на 7 ребёнок умеет с третьего класса. Трудность в том, чтобы догадаться, что первым делом надо получить число, о котором в задаче не спрашивали. Это первый раз, когда решение требует хода «в сторону», и именно к этому дети не готовы.
Умение придержать порядок действий тренируется и отдельно от задач — например, в игре «Что делаем первым», где нужно не посчитать, а выбрать, какое действие идёт раньше. Задача на приведение к единице — та же мысль, только вместо знаков стоят вопросы.
Вопрос, который решает задачу
Есть один вопрос, который вытаскивает почти любую задачу этого типа: «сколько приходится на один?»
Его стоит сделать ритуалом. Прочитали условие — задали вопрос вслух. Сколько стоит одна тетрадь. Сколько ткани уходит на одно платье. Сколько километров машина проезжает за один час. Сколько конфет достаётся одному ребёнку. Если на этот вопрос удаётся ответить одним делением, задача решена наполовину.
Вопрос помогает и с распознаванием типа. Задача на приведение к единице устроена так: про одну группу известно и количество, и общая величина, а про вторую — только количество. Как только ребёнок видит эту картинку — «здесь два числа, здесь одно», — он понимает, что первым действием будет деление, ещё не вникая в сюжет.
Полезно потренироваться отдельно на распознавании, без решения: даёте пять условий и просите только сказать, какое действие будет первым и что оно найдёт. Ответ «деление, найдём цену одной» — засчитан, считать не надо. Пять таких разборов за пять минут дают больше, чем одна полностью решённая задача за то же время.
Как записывать, чтобы не путаться
В задачах на приведение к единице почти все ошибки — не в счёте, а в потере смысла: ребёнок получает 20 и уже не помнит, что это цена одной тетради, а не ответ.
Спасает запись с пояснениями. Не просто «80 : 4 = 20», а «80 : 4 = 20 (р.) — цена одной тетради». И вторым действием: «20 × 7 = 140 (р.) — стоимость семи тетрадей». Пояснение занимает три слова, а от путаницы спасает полностью.
Хорошо работает и краткая запись таблицей: в одной строке «4 тетради — 80 р.», в другой «7 тетрадей — ?». Такая таблица сразу показывает пустое место и подсказывает, что общего у строк — цена одной штуки. Тот же приём разбирается в статье про цену, количество и стоимость, и если эта тройка уже знакома, приведение к единице ложится на неё почти без усилий.
Третье, что стоит требовать, — единицы измерения при каждом числе. Рубли, метры, километры в час. Единицы не украшение: они мгновенно ловят ошибку. Если при делении рублей на тетради получились «рубли за тетрадь», всё в порядке. Если ребёнок разделил рубли на рубли, единицы сами покажут, что действие не то.
Четыре частые ошибки
Первая — умножить сразу. Ребёнок видит 80 и 7 и умножает, получая 560. Ловится прикидкой: семь тетрадей дороже четырёх, но не в семь же раз. Вопрос «а это вообще похоже на правду?» разворачивает решение назад лучше, чем красная ручка.
Вторая — разделить не то на то. 4 : 80 вместо 80 : 4. Здесь помогают единицы и здравый смысл: тетрадь не может стоить меньше рубля за штуку в такой задаче.
Третья — остановиться на первом действии. Нашли цену одной тетради и записали её в ответ. Ошибка чисто внимательная, лечится привычкой перечитывать вопрос задачи перед тем, как писать ответ. Полезно ввести правило: последнее, что делаешь, — читаешь вопрос ещё раз и проверяешь, отвечает ли твоё число именно на него.
Четвёртая — деление не нацело. «За 3 булочки заплатили 100 рублей» — цена одной не выходит круглой, и ребёнок теряется. В начальной школе такие условия обычно не дают, но если попалось, это повод поговорить о том, что в задаче числа подбирают так, чтобы делилось, и если не делится — стоит перечитать условие: возможно, оно понято неверно. Чувство того, какие числа делятся ровно, отлично ставит игра «Делим с остатком».
Когда тема идёт по программе
Приведение к единице появляется в третьем классе, сразу после того, как освоено внетабличное умножение и деление, и держится до конца начальной школы. В четвёртом классе на нём же строятся задачи на движение и на производительность: сколько километров за один час, сколько деталей за одну смену — вопрос тот же, меняется только сюжет.
Из этого следует практический вывод: если в третьем классе тип разобран как следует, четвёртый пройдёт заметно легче, потому что новых идей там не появится — появятся новые слова. И наоборот, если ребёнок в третьем классе решал такие задачи по образцу, в четвёртом это вскроется на первой же задаче про скорость, где образец не подойдёт.
Поэтому спешить с количеством решённых задач не стоит. Пять задач, в каждой из которых ребёнок сам сказал, что найдёт первым действием, полезнее двадцати, решённых по показанному шаблону.
Обратная задача — лучшая проверка
Когда прямые задачи начинают получаться, стоит развернуть их. «За 7 тетрадей заплатили 140 рублей. Сколько заплатят за 4 тетради?» Здесь тот же приём, но числа поменялись местами, и заученный порядок «раздели, потом умножь» перестаёт быть механическим — думать всё равно приходится.
Ещё полезнее задача, где спрашивают количество, а не стоимость: «За 4 тетради заплатили 80 рублей. Сколько тетрадей купят на 100 рублей?» Первое действие то же самое — цена одной. А второе уже деление, а не умножение. Дети, которые выучили «сначала делим, потом умножаем» как ритуал, на этой задаче спотыкаются, и это хорошо: становится видно, что ритуал был вместо понимания.
Третий разворот — придумать задачу самому по готовому решению. Даёте два действия: 90 : 3 = 30, 30 × 5 = 150 — и просите сочинить условие. Придумать труднее, чем решить, зато после этого структура типа становится своей.
Как закрепить в играх
Задачу целиком экран не заменит — её всё равно читают и разбирают на бумаге. Зато экран хорошо держит те навыки, из которых задача собрана.
«Магазин» — самый близкий сюжет: цена, количество, сдача. Ребёнок каждый раз считает стоимость покупки, и связка «сколько за одну — сколько за несколько» становится бытовой.
«Таблица умножения» нужна для второго действия: если умножение медленное, вся энергия уходит на счёт и на разбор условия её не остаётся.
«Делим с остатком» тренирует первое действие и заодно чувство того, делится ли число ровно.
«Что делаем первым» отрабатывает саму привычку выбирать порядок действий до вычисления — то, чего этим задачам чаще всего и не хватает.
Что распечатать
Задачи на приведение к единице — три листа задач одного типа с готовыми решениями в ключе: сначала сколько на один, потом на нужное количество. Числа подобраны так, что первое действие делится нацело.
Умножение и деление вперемешку — полезно именно вперемешку: в задачах на приведение к единице оба действия идут подряд, и переключаться между ними надо быстро.
Примеры на деление до 50 закрывают первое действие для небольших чисел.
Монеты: рубли и копейки пригодятся младшим: пока цена одной штуки не стала бытовым понятием, задача остаётся набором чисел.
Главное
Задача на приведение к единице решается в два действия, и первое из них находит число, о котором в условии не спрашивали, — сколько приходится на один.
Главный инструмент — вопрос «сколько на один?», заданный вслух сразу после чтения условия. Он же помогает узнавать тип задачи: про одну группу известно два числа, про вторую одно.
Запись с пояснениями и единицами измерения снимает почти все ошибки: они здесь не в счёте, а в потере смысла промежуточного числа.
Когда прямые задачи пошли, разворачивайте их — спрашивайте количество вместо стоимости. Это отличает понимание от заученного порядка «сначала делим, потом умножаем».
