В вопросе «больше», а решать надо минусом
Задача выглядит безобидно: «У Маши 8 наклеек, а у Пети 5. На сколько наклеек у Маши больше?» Первоклассник, который уверенно решает «было — съели — осталось», пишет 8 + 5 = 13 и искренне не понимает, за что красная ручка. В вопросе ведь написано «больше», а больше — это плюс. Через страницу он встречает «на сколько меньше» и уверенно вычитает, получая правильный ответ по неправильной причине.
Этот тип задач в методике называется разностным сравнением, и он действительно устроен иначе, чем первые задачи первого класса. В задаче «было — улетели» что-то происходит: предметов становится больше или меньше. Здесь не происходит ничего. У Маши восемь наклеек, у Пети пять, никто ничего не отдаёт и не получает. Вопрос не про изменение, а про разницу между двумя кучками, которые просто лежат рядом. Поэтому привычный вопрос «прибавилось или убавилось?», который спасает в задачах в одно действие, здесь не срабатывает — прибавляться нечему.
Ответ «на сколько больше» — это количество предметов, которым не хватило пары, и увидеть их можно раньше, чем посчитать. В игре «Больше, меньше, равно» на первых двух уровнях числа показаны кучками картинок. Когда ребёнок поставил знак, задайте ещё один вопрос: на сколько больше? Пусть покажет пальцем лишние предметы в большей кучке. Две-три такие игры, и слово «на сколько» перестаёт быть непонятным оборотом из учебника.
Откуда берётся вычитание
Объяснение стоит начать с предметов, а не с правила. Выложите восемь пуговиц в верхний ряд и пять в нижний, строго одна под другой. Пять пар сошлись, а три пуговицы в верхнем ряду остались без пары. Вот они и есть ответ: у Маши на три наклейки больше, у Пети на три меньше. Если этот приём один-к-одному ребёнку пока не знаком, начните со статьи «Столько же: сравнение количеств» — вся тема стоит на нём.
Теперь самое важное: как посчитать лишние, не выкладывая пуговицы? Надо из большего ряда убрать столько, сколько в меньшем, — ту часть, у которой есть пара. Останутся как раз лишние: 8 − 5 = 3. Отсюда и правило, которое стоит проговорить вслух: чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, из большего вычитают меньшее.
Отдельно покажите, что «на сколько больше» и «на сколько меньше» — один и тот же вопрос, заданный с разных сторон. У Маши на три больше, чем у Пети, значит, у Пети на три меньше, чем у Маши. Лишние пуговицы те же самые, и действие то же самое. Ребёнок, который это увидел, перестаёт выбирать знак по слову в вопросе.
Схема из двух полосок
Пуговицы нужны на первых порах, потом их заменяет схема. На клетчатой бумаге рисуются две полоски одна под другой: верхняя длиной восемь клеток — Маша, нижняя длиной пять клеток — Петя. Концы у полосок слева должны стоять строго на одной вертикали, иначе сравнивать нечего. Над частью верхней полоски, которая торчит дальше нижней, ставится скобка и знак вопроса.
Схема хороша тем, что в ней не нужно выбирать знак действия: он виден. Скобка стоит над хвостиком, хвостик — это длинная полоска без короткой, значит, из восьми вычитаем пять. Если ребёнок нарисовал схему и всё равно написал плюс, попросите показать пальцем, что означает число 13 на рисунке. Показать нечего: такой полоски нет, — и ошибка находится без подсказки.
Самые частые ошибки в схеме — полоски, начатые с разных мест, и скобка, поставленная над всей длинной полоской. В первом случае хвостик получается какой угодно длины, во втором ребёнок фактически спрашивает «сколько у Маши», а это известно из условия. Первые две недели рисуйте схему к каждой задаче этого типа, даже если ответ кажется очевидным: привычка нужна не к лёгким задачам, а к трудным, которые появятся во втором классе.
«На сколько больше?» и «на 3 больше» — разные задачи
Настоящая путаница начинается, когда рядом с задачами на разностное сравнение появляются похожие по словам, но другие по смыслу. «У Пети 5 наклеек, а у Маши на 3 больше. Сколько наклеек у Маши?» Здесь разница известна, а неизвестно одно из чисел, и решается задача сложением: 5 + 3 = 8. Ребёнок, который только что выучил «больше — значит вычитаем», теперь пишет 5 − 3 и снова получает красную ручку.
Правило ключевых слов подводит в обе стороны, поэтому учить его не нужно. Нужен один вопрос к условию: что неизвестно — разница или число? Если в вопросе есть «на сколько», ищем разницу, и это всегда вычитание из большего меньшего. Если в условии сказано «на 3 больше» или «на 3 меньше», а спрашивают «сколько», ищем число, и тогда рисуем полоски и смотрим, какая из них неизвестна. Неизвестна длинная — складываем, короткая — вычитаем.
Во втором классе появляется третий вариант, самый коварный: «У Маши 8 наклеек, это на 3 больше, чем у Пети. Сколько наклеек у Пети?» Слово «больше» стоит в условии, но больше как раз у Маши, а спрашивают про Петю, у которого меньше: 8 − 3 = 5. Без схемы такие задачи решаются угадыванием, со схемой — спокойно. Сначала рисуем полоску Маши длиной восемь клеток, потом полоску Пети, которая на три клетки короче, и неизвестная оказывается короткой.
Полезно положить рядом три задачи про те же 8, 5 и 3 наклейки — «на сколько больше?», «на 3 больше» и «это на 3 больше, чем» — и решить их подряд со схемами. Когда ребёнок видит, что числа те же, а действия разные, он перестаёт доверять словам и начинает смотреть на рисунок. Про то, почему правило ключевых слов вообще ломается и как разбирать условие по шагам, подробно написано в статье «Задачи в одно действие».
Как записывать решение и ответ
Решение записывается одной строкой: 8 − 5 = 3 (н.). Сокращение единиц в скобках в разных школах пишут по-разному, поэтому держитесь того, как принято в тетради. Важнее ответ, и здесь у этого типа задач своя ловушка: ответ нельзя писать «у Маши 3 наклейки». Три — это не количество наклеек у Маши, а разница. Правильный ответ: «у Маши на 3 наклейки больше».
Проговаривание ответа полным предложением работает как проверка. Если ребёнок сказал «у Маши на 13 наклеек больше, чем у Пети», а у Пети всего пять, несуразность слышна сразу: откуда у Маши тринадцать лишних, если у неё всего восемь? Ещё одна быстрая проверка — сложение: к меньшему числу прибавить разницу, должно получиться большее. 5 + 3 = 8, всё сходится.
С этой проверкой связан полезный взгляд на задачу, который пригодится во втором классе: «на сколько 8 больше 5» — то же самое, что «сколько надо добавить к 5, чтобы получилось 8». Ребёнок, который это заметил, уже на пороге уравнений, и если такие вопросы появляются, загляните в статью «Уравнения в начальной школе».
Где обычно ломается
Первое — числа в условии идут в неудобном порядке: «У Пети 5 наклеек, а у Маши 8. На сколько у Пети меньше?» Ребёнок пишет 5 − 8 и застревает. Напомните правило целиком: из большего вычитаем меньшее, порядок в условии роли не играет. Схема снова выручает — длинная полоска Маши, какой бы по счёту она ни была упомянута.
Второе — разные слова вместо «больше» и «меньше»: длиннее и короче, старше и младше, дороже и дешевле, выше и ниже. «Пете 12 лет, а сестре 7. На сколько лет сестра младше?» — это тот же вопрос про разницу, и решается он тем же вычитанием 12 − 7 = 5. Дайте ребёнку несколько таких задач вперемешку, чтобы он узнавал тип по «на сколько», а не по конкретному слову.
Третье — перенос в третий класс, где появятся задачи «во сколько раз больше». Разница там ищется делением, и дети, хорошо усвоившие «на сколько — вычитаем», поначалу вычитают и там. Пока до этого далеко, но полезно уже сейчас следить, чтобы ребёнок читал вопрос целиком, а не цеплялся за одно слово.
Как закрепить в играх
Задачи на сравнение трудны не счётом, а смыслом, и игры здесь полезны тем, что отдельно тренируют и то и другое.
«Больше, меньше, равно» на первых двух уровнях показывает количества картинками — удобно спрашивать «на сколько больше» и показывать лишние предметы. «Какое число спряталось» даёт примеры вида 5 + ? = 12, то есть ровно вопрос «сколько добавить к меньшему, чтобы получить большее». «Реши пример» доводит вычитание в пределах двадцати до автоматизма, чтобы счёт не отнимал внимание у условия. А в «Где живёт число» после промаха видно, на сколько домик не дотянул до нужного места, — та же разница, только на линейке.
Остальные игры на счёт — в разделе «Счёт и цифры».
Что распечатать
Главный набор — «Задачи: на сколько больше?»: девять задач на разностное сравнение, к каждой нарисована схема из двух отрезков в масштабе со скобкой над разницей, а на отрезках есть насечки, по которым разницу можно пересчитать. На последнем листе появляются «на сколько меньше» и «на сколько лет младше», так что ребёнок видит, что вопрос с другим словом решается тем же действием. Отдельно идут те же листы с полными решениями.
Если задачи в одно действие пока даются с трудом, начните с набора «Задачи в одно действие: с картинками». Когда тип освоен, пригодится «Составь задачу по картинке»: попросите придумать к двум группам предметов вопрос «на сколько больше» — сочинить такую задачу самому труднее, чем решить готовую. А если спотыкается само вычитание, добавьте листы «Сравнение чисел до 20».
Главное
Вопрос «на сколько больше» и вопрос «на сколько меньше» — один и тот же вопрос про разницу, и ответ на него всегда находится вычитанием меньшего из большего. Объясняется это парами: разница — это предметы, которым не хватило пары, а чтобы их найти, из большего убирают ту часть, что совпала с меньшим.
Главная опора — схема из двух полосок, начатых от одной линии. Она выбирает знак вместо слов и спасает в задачах, похожих по формулировке, но других по смыслу: «на 3 больше» решается сложением, а «это на 3 больше, чем» — вычитанием. Ответ записывайте полным предложением со словами «на ... больше» и проверяйте сложением: меньшее плюс разница должно дать большее.
