Коротко. Натуральные числа — это числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее без конца. Ноль к натуральным числам не относится, потому что ноль предметов не считают. Дробей и отрицательных чисел среди натуральных тоже нет. Выстраиваются они в натуральный ряд, где каждое следующее больше предыдущего на единицу, и место числа в этом ряду — ровно то, что тренирует игра «Где живёт число».
Откуда взялось слово «натуральные»
Название сбивает с толку и детей, и взрослых: кажется, что речь о чём-то природном. Отчасти так и есть. «Натуральный» здесь значит «естественный», возникший сам собой из простого дела — пересчёта предметов. Люди начали считать овец, дни и шаги задолго до того, как придумали дроби и отрицательные числа, и первые числа появились именно из этой нужды.
Отсюда и способ проверки, понятный ребёнку: если числом можно ответить на вопрос «сколько?» применительно к предметам, оно натуральное. Три яблока — три натуральное. Половина яблока — половина не натуральное. Минус два яблока не бывает вовсе, значит, и минус два не натуральное.
Этот же ход объясняет, почему тема появляется в программе не в первом классе, а позже. Считать ребёнок начинает сразу, а вот отделять «числа для счёта» от всех прочих чисел имеет смысл только тогда, когда появились другие — дроби и отрицательные.
Почему ноль не натуральное число
Это самый частый вопрос по теме, и ответ у него простой, хотя и не единственный в мировой математике.
В российской школьной программе натуральный ряд начинается с единицы. Логика та же самая: натуральные числа получились из счёта предметов, а пересчёт всегда начинается с одного. Когда предметов нет, считать нечего — ноль отвечает не на вопрос «сколько предметов», а на вопрос «есть ли они вообще».
Ребёнку удобно показать это на руках. Попросите посчитать карандаши на столе: один, два, три. А теперь уберите все и попросите посчитать снова — считать нечего, счёт не начинается. Ноль появляется не как результат счёта, а как обозначение пустоты, и потому стоит отдельно.
Стоит честно сказать и то, что в некоторых странах и в отдельных разделах математики ноль к натуральным причисляют. Для начальной школы это не важно, но если ребёнок наткнётся на такое утверждение в интернете, он не должен решить, что его обманули: ориентироваться надо на свой учебник.
Натуральный ряд и его свойства
Натуральный ряд — это все натуральные числа, записанные по порядку: 1, 2, 3, 4, 5, 6… У него есть три свойства, которые в начальной школе проговаривают отдельно.
Начало есть. Самое маленькое натуральное число — единица. Меньше неё натуральных чисел не бывает.
Конца нет. К любому числу можно прибавить единицу и получить следующее, поэтому самого большого натурального числа не существует. Детям это обычно нравится: можно предложить назвать самое большое число и тут же прибавить к нему один.
Шаг всегда один. Каждое следующее число больше предыдущего ровно на единицу. Именно поэтому натуральный ряд удобно откладывать на луче: равные отрезки, равные шаги. Как устроен этот луч и зачем на нём единичный отрезок, мы разбирали в статье «Координатный луч и координаты».
Кусок ряда от одного числа до другого называют отрезком натурального ряда: например, отрезок от 5 до 9 — это числа 5, 6, 7, 8, 9. Формулировка встречается в заданиях, и стоит объяснить её заранее, чтобы слово «отрезок» не сбило ребёнка на мысль о геометрии.
Соседи числа: где дети путаются
Задание «назови соседей числа 7» кажется пустяковым, но ошибок в нём неожиданно много, и все они однотипные.
Первая: ребёнок называет только одного соседа — следующего. Причина в том, что считать вперёд привычно, а назад нет. Помогает обратный счёт вслух от десяти до одного, каждый день по разу, пока он не станет таким же лёгким, как прямой.
Вторая: путается, какой сосед предыдущий, а какой следующий. Здесь выручает наглядность: числа выписываются в строку, и слово «предыдущий» показывается пальцем слева, «следующий» — справа. Пока это только слова на слух, порядок не удерживается.
Третья возникает у единицы. У неё есть следующее число, но предыдущего натурального нет — и это не ошибка задания, а свойство ряда. Ребёнку стоит проговорить это отдельно, иначе он либо напишет ноль, либо решит, что чего-то не понимает.
Где тема встречается в заданиях
Само словосочетание «натуральное число» в учебнике попадается нечасто, а вот задания, построенные на нём, идут постоянно — и родителю полезно их узнавать, чтобы понимать, что именно не даётся ребёнку.
Первый тип: «запиши три натуральных числа, которые больше 15 и меньше 20». Здесь проверяют, понял ли ребёнок, что между двумя числами лежит конечный набор, и что дробей в этот набор брать нельзя. Ошибка обычно одна — включают границы, хотя сказано «больше» и «меньше», а не «от» и «до».
Второй: «назови наименьшее натуральное число» или «существует ли наибольшее». Оба вопроса про свойства ряда, и отвечать на них ребёнок должен не заучено, а рассуждением: наименьшее есть и это единица, наибольшего нет, потому что к любому числу можно прибавить один.
Третий: «запиши числа в порядке возрастания» или «в порядке убывания». Слова длинные, и половина ошибок именно от них — ребёнок просто не помнит, какое что значит. Привяжите к смыслу: возрастание — числа растут, как ребёнок растёт; убывание — убывают, становятся меньше. Проговорить это стоит один раз, но вслух и на примере.
Как записывают натуральные числа
Любое натуральное число записывается десятью цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Здесь важно не смешивать два понятия, которые дети постоянно путают: цифра — это знак, а число — то, что этим знаком обозначено. Цифр всего десять, а чисел бесконечно много.
Проверить, различает ли ребёнок эти вещи, можно вопросом: сколько цифр в числе 505? Ответ — три цифры, хотя две из них одинаковые, а само число одно. Если ребёнок отвечает «пятьсот пять», понятия ещё слиты.
Дальше натуральные числа разбирают по разрядам и классам — единицы, десятки, сотни, тысячи. Это следующий шаг после самого ряда, и мы разложили его в статье «Многозначные числа: разряды и классы».
Какие числа натуральными не являются
Проще всего запомнить через список исключений, проговорив каждое с примером. Не натуральные: ноль; дроби и всё, что записано через запятую, — половина, четверть, 2,5; отрицательные числа — минус три, минус десять.
Полезное упражнение на пять минут: выпишите вперемешку десяток чисел — 7, 0, 1,5, 12, −4, 100, половина, 33 — и попросите вычеркнуть те, которыми нельзя посчитать предметы. Разбор вслух каждого вычеркнутого закрепляет определение лучше, чем повторение формулировки.
Отдельно стоит проговорить, что чётность к делу не относится: и чётные, и нечётные числа одинаково натуральные. Дети иногда решают, что это разные наборы. О самой чётности — в статье «Чётные и нечётные числа».
Как закрепить в играх
Понимание ряда проверяется не определением, а местом числа. В игре «Где живёт число» нужно поставить число на его место среди других — то есть удержать в голове порядок, а не просто назвать числа подряд.
Следующий шаг — «Какое число спряталось»: в ряду закрыто одно число, и восстановить его можно только по соседям. Это ровно та работа, которую требует задание про предыдущее и следующее, но без формулировок, на которых дети спотыкаются.
Что распечатать
Натуральный ряд хорошо укладывается в голове, когда он виден целиком. Лист «Сотенный квадрат» показывает все числа от 1 до 100 сразу: по нему удобно искать соседей, считать десятками и видеть закономерности в столбцах.
Для отработки пропусков возьмите «Числовые ряды до 100» — там нужно вставить недостающие числа, и ошибка сразу видна по сбившемуся шагу.
Главное
Натуральные числа — те, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и дальше без конца. Ноль, дроби и отрицательные числа в их число не входят. Ряд начинается с единицы, не кончается никогда, и шаг в нём всегда равен одному.
У каждого числа, кроме единицы, есть предыдущее и следующее; у единицы предыдущего нет. И стоит сразу развести цифру и число: цифр десять, а чисел бесконечно много.
