Что меняется, когда движутся двое
Обычная задача на движение — про одного: велосипедист едет, поезд идёт, пешеход шагает. Три величины держатся друг за друга, и всё сводится к тому, чтобы понять, что ищем.
Встречное движение добавляет второго, и вместе с ним появляется новая идея — скорость сближения. Именно она и есть настоящая тема, а не формулы: если ребёнок понял, что двое навстречу закрывают расстояние вдвое быстрее, дальше всё считается само.
Про одного участника подробно разобрано в статье о задачах на движение, и начинать стоит именно с неё: пока не улеглось, что путь собирается из одинаковых часовых кусков, второй участник только запутает.
Полезно заранее убедиться, что у ребёнка есть чувство расстояния как отрезка на шкале. Это ровно то, что тренирует «Где живёт число»: линейка без делений, и число нужно поставить туда, где оно живёт. Ребёнок, который уверенно чувствует, где на отрезке середина и где две трети, потом легко понимает, почему встреча происходит не посередине, когда скорости разные.
Главная идея в одном разговоре
Возьмите верёвку или просто отметьте на полу два места. Поставьте ребёнка на одну отметку, встаньте на другую и начните идти навстречу.
Спросите: расстояние между нами уменьшается только из-за того, что иду я? Нет — ты тоже идёшь. Значит за одну секунду оно уменьшилось на мой шаг и ещё на твой. На два шага сразу.
Вот и вся скорость сближения: сумма двух скоростей. Дальше задача становится обычной задачей про одного участника, только скорость у него общая. Расстояние — это скорость сближения, умноженная на время.
Эту сцену стоит разыграть буквально, ногами. Она занимает минуту и снимает главный вопрос темы — складывать или вычитать — гораздо надёжнее, чем объяснение за столом.
Рисунок вместо формулы
Формулу можно не давать вовсе. Вместо неё — схема, которую ребёнок рисует за десять секунд и которая отвечает на все вопросы задачи.
Отрезок. На левом конце человечек, на правом второй. Над левым подписана его скорость, над правым его. Посередине — место встречи, отмеченное крестиком. Под отрезком — время.
Глядя на этот рисунок, ребёнок сам видит: расстояние закрывается с двух сторон, значит скорости складываются. И сам видит, что если скорости разные, крестик стоит не посередине — тот, кто быстрее, прошёл больше.
Схему стоит требовать всегда, даже когда задача кажется лёгкой. На контрольной она набрасывается за десять секунд и экономит те две минуты, которые обычно уходят на выбор действия наугад.
Три вопроса, которые бывают в задачах
Как и в обычном движении, искомое бывает трёх видов, и приём для каждого свой.
Найти расстояние — самый частый случай. Известны обе скорости и время до встречи: складываем скорости, умножаем на время. Из двух городов вышли поезда со скоростями 60 и 45 километров в час и встретились через три часа. Сближались они со скоростью 105 километров в час, за три часа закрыли 315 километров — это и есть расстояние между городами.
Найти время до встречи — обратная задача. Известны расстояние и обе скорости: складываем скорости и делим расстояние на эту сумму. Между посёлками 27 километров, навстречу вышли пешеходы со скоростями 5 и 4 километра в час. Сближаются на 9 километров в час, значит встретятся через три часа.
Найти скорость одного из них — самый трудный вид, и он появляется позже. Известны расстояние, время и скорость второго: сначала находим скорость сближения делением, потом вычитаем известную скорость. Здесь два действия, и второе часто забывают, останавливаясь на скорости сближения как на ответе.
Где ломается решение
Первое и главное — вычитание вместо сложения. Ребёнок видит два числа и берёт действие наугад, а вычитание кажется уместным, потому что «расстояние уменьшается». Помогает только схема и вопрос к ней: они идут навстречу или в одну сторону?
Второе — ответ на полпути. Нашли скорость сближения и записали её в ответ, забыв умножить на время. Лечится привычкой перечитывать вопрос задачи после того, как получен результат: спрашивали про расстояние, а в ответе километры в час — значит, работа не закончена.
Третье — разные мерки в условии. У одного скорость в километрах в час, у другого в метрах в минуту. Складывать их нельзя, пока не приведены к одной мерке, и это тот же приём, что в сравнении величин: сначала общая мерка, потом действие.
Четвёртое — уверенность, что встреча всегда посередине. Она посередине только при равных скоростях, и полезно специально разобрать пример, где один вдвое быстрее: крестик уезжает, и это видно на схеме.
Как проверять себя
У встречного движения есть отличная встроенная проверка: посчитать путь каждого отдельно и сложить.
Нашли, что расстояние 315 километров. Проверяем: первый за три часа прошёл 180, второй 135. Складываем — 315. Сошлось, значит решение верное, и заглядывать в ответы незачем.
Эта проверка занимает полминуты и заодно показывает, что происходило в задаче: два пути сложились в одно расстояние. Она же обычно и объясняет ошибку, если что-то не сошлось. Тот же способ мышления разобран в статье про проверку обратным действием.
И вторая проверка, совсем быстрая: время до встречи всегда меньше, чем если бы шёл один. Если у ребёнка получилось, что вдвоём они встретились позже, чем один прошёл бы весь путь, где-то перепутано действие.
Движение в противоположные стороны — то же самое наоборот
Сразу после встречного идёт похожая тема: двое вышли из одной точки и пошли в разные стороны. Дети её путают, хотя приём тот же самый.
Разница в том, что расстояние не закрывается, а открывается. Но открывается оно тоже с двух сторон сразу, поэтому скорости снова складываются, и называется эта сумма скоростью удаления. Формула не меняется: сумма скоростей умножить на время.
Показать это можно тем же способом — встать спиной к спине и разойтись. За секунду расстояние выросло на мой шаг и на твой, то есть на два шага. Ребёнок, который проиграл обе сцены ногами, дальше не путает их никогда, потому что помнит не правило, а движение.
Полезно дать две задачи подряд с одинаковыми числами: в первой идут навстречу, во второй — в разные стороны. Ответ получается один и тот же, и это удивляет. Зато становится ясно, что складывать скорости приходится в обоих случаях, а различаются задачи только вопросом: сколько было между ними или сколько стало.
Когда браться за тему
Признаков готовности три, и все проверяются за пять минут.
Первый: ребёнок решает обычные задачи на движение всех трёх видов, не глядя на схему. Если он ещё сверяется с картинкой, где путь разбит на часы, второй участник только перегрузит.
Второй: умножение и деление на двузначные числа не вызывают затруднений. Скорость сближения почти всегда двузначная, а расстояние — трёхзначное, и если арифметика тяжёлая, весь ресурс уйдёт на неё.
Третий: ребёнок замечает мерки в условии. В задачах на встречное движение мерки нередко разные, и невнимание к ним даёт неверный ответ при совершенно верном рассуждении.
Если хотя бы одного признака нет, тему лучше отложить на несколько недель. Она не станет труднее, а вот отвращение к ней после серии неудач появляется быстро и держится долго.
Как закрепить в играх
Само встречное движение на экране не разыграешь, но всё, на чём оно держится, тренируется хорошо.
«Где живёт число» отвечает за отрезок и за понимание, где на нём что находится, — та самая схема, только без человечков. Ребёнок, у которого это чувство есть, рисует схему осмысленно, а не по образцу.
«Прямоугольник умножения» помогает с арифметикой: скорость сближения приходится умножать на время, и числа там нетабличные. А «Который час» держит в форме работу со временем, без которой задачи на движение превращаются в путаницу.
Другие математические игры — в разделе «Счёт и цифры», а по классам — на странице заданий для 4 класса.
Что распечатать
Прямо по теме — «Задачи на встречное движение»: двенадцать задач в два действия, где приём каждый раз один и тот же, а сюжеты и мерки меняются.
Если движение вообще берётся впервые, начните с «Задачи на движение: скорость, время, расстояние» — там есть справочный лист со схемой, где путь разбит на часовые куски. А когда обычные задачи решаются уверенно, добавьте второй набор: числа там нетабличные и мерки в условии меняются.
Для арифметической части пригодятся «Цена, количество, стоимость»: тот же тип рассуждения — величина на количество даёт итог, только вместо километров рубли.
Главное
Вся тема держится на одной идее: когда двое идут навстречу, расстояние закрывается сразу с двух сторон, поэтому скорости складываются. Идею проще прожить ногами за минуту, чем объяснить за десять.
Формула не нужна — нужна схема: отрезок, два человечка, скорости сверху, время снизу. Она рисуется за десять секунд и отвечает на вопрос, который в этой теме единственный трудный: складывать или вычитать.
И приучайте проверять сложением путей. Полминуты работы — и ребёнок знает, что решил верно, не заглядывая в ответы.
