Половина таблицы уже выучена
В таблице умножения от 2 до 9 всего шестьдесят четыре примера. Если знать, что от перестановки множителей произведение не меняется, учить придётся тридцать шесть — почти вдвое меньше.
Звучит как арифметический фокус, но для ребёнка это огромная разница. Тридцать шесть фактов — это посильно. Шестьдесят четыре — уже гора, на которую смотрят с тоской.
Беда в том, что само по себе это знание не появляется. Ребёнок честно учит 3 × 4, потом честно учит 4 × 3, и то, что это одно и то же, обнаруживает случайно — или не обнаруживает вовсе.
Показать это можно за минуту, и лучше всего не на словах. В игре «Прямоугольник умножения» ребёнок собирает двенадцать конфет в коробку, потом просят собрать те же двенадцать по-другому — и коробка три на четыре просто поворачивается на бок, становясь четыре на три. Конфет столько же. Это и есть всё объяснение, только сделанное руками.
Коробка, которую можно повернуть
На бумаге это делается так же. Начертите прямоугольник три клетки на четыре и попросите посчитать клетки. Двенадцать.
Теперь поверните лист на девяносто градусов. Тот же прямоугольник стал четыре на три. Спросите: клеток стало больше?
Вопрос кажется глупым, и в этом весь смысл. Ребёнок отвечает, что конечно нет, это же тот же самый рисунок. И тут вы говорите: значит, три на четыре и четыре на три — одно и то же число.
Этот поворот стоит проделать буквально, руками, а не показать готовыми картинками. Действие запоминается лучше объяснения, и потом, когда ребёнок засомневается, он воспроизведёт поворот мысленно.
Хорошо работает и вариант с предметами: выложите двенадцать пуговиц тремя рядами по четыре, потом переложите четырьмя рядами по три. Пуговицы те же самые, их никто не добавлял.
Что это даёт на практике
Первое и главное — таблицу можно учить вдвое быстрее. Выучили строку на три — заодно получили все примеры вида «что-то на три» из других строк.
Второе — трудные примеры становятся лёгкими. 7 × 8 многие помнят плохо, а 8 × 7 почему-то лучше, или наоборот. Право выбрать, каким способом вспоминать, — это уже подспорье.
Третье — появляется приём для устного счёта. 2 × 9 считать неудобно, а 9 × 2 — это просто «дважды девять», и ответ приходит сам. Умножать удобнее, начиная с меньшего множителя, и переставлять их ребёнок имеет полное право.
Как именно учить саму таблицу, разобрано отдельно — в статье про таблицу умножения на 2, 3 и 4. Здесь важно другое: свойство сокращает объём заучивания ещё до того, как заучивание началось.
Четвёртое, и о нём часто забывают: свойство работает не только в таблице. 25 × 4 в столбик считать долго, а 4 × 25 — это четыре четвертака, сто. Взрослые пользуются этим постоянно, не задумываясь, и стоит показать ребёнку, что он тоже может.
Где перестановка не работает
Здесь есть ловушка, в которую попадают почти все. Усвоив, что множители переставляются, ребёнок начинает переставлять всё подряд — и первым делом в делении.
12 : 3 и 3 : 12 — совершенно разные вещи, и вторая в начальной школе вообще не решается. То же с вычитанием: 9 − 4 и 4 − 9 не равны.
Поэтому вводить свойство стоит сразу с границей: переставлять можно в сложении и умножении, нельзя в вычитании и делении. И проверять эту границу вопросами, а не просто объявлять.
Хороший вопрос для проверки: «У тебя было 5 конфет, съел 2. А если наоборот — было 2, съел 5?» Ребёнок сразу видит, что вторая ситуация невозможна. То же самое с делением: «Раздели 12 конфет между 3 детьми» и «раздели 3 конфеты между 12 детьми» — истории разные.
Как проверить, что понято, а не заучено
Фразу «от перестановки множителей произведение не меняется» дети запоминают легко и повторяют охотно, но это ничего не говорит о понимании.
Проверять стоит задачами, а не определением. Спросите: «Ты знаешь, сколько будет 6 × 4. А 4 × 6 знаешь?» Если ребёнок начинает считать заново — свойство не работает, оно осталось словами.
Второй способ — попросить объяснить младшему. «Представь, что тебе нужно объяснить это первокласснику. Что бы ты нарисовал?» Тот, кто понял, рисует прямоугольник или ряды предметов. Тот, кто запомнил, повторяет формулировку.
Третий — дать пример с большими числами: «сколько будет 4 × 25?» Ребёнок, который владеет приёмом, переставит и посчитает в уме. Тот, кто не владеет, полезет в столбик.
Когда вводить свойство
Лучший момент — самое начало таблицы, когда выучены строки на два и на три, а впереди ещё шесть. Тогда экономия видна и мотивирует: «половину ты уже знаешь» звучит совсем не так, как «выучи ещё шесть строк».
Раньше вводить бессмысленно: если умножение как действие ещё не понято, свойство ляжет поверх пустоты. Признак готовности простой — ребёнок объясняет, что 3 × 4 значит «по три взять четыре раза», и может показать это предметами.
Позже — тоже потеря. Ребёнок, который честно вызубрил всю таблицу целиком, узнав про перестановку, чувствует себя обманутым: половина работы оказалась лишней. Обидно и, что хуже, подрывает доверие к объяснениям.
Есть и третий момент, когда к свойству стоит вернуться: когда пошли примеры с большими числами. 4 × 25, 2 × 50, 5 × 18 — везде перестановка упрощает счёт, и это уже не про таблицу, а про устные приёмы вообще.
Разговор, который закрепляет надёжнее упражнений
Свойство держится не на количестве примеров, а на том, замечает ли ребёнок его в жизни. Поводов вокруг много.
Упаковка яиц: десять штук, два ряда по пять. Или пять рядов по два, если повернуть. Яиц от этого не прибавилось.
Плитка в ванной, окна в доме, места в зале, клетки на шахматной доске — всё это прямоугольники, и всякий раз можно спросить: «а если посчитать не по рядам, а по столбцам, получится столько же?» Первые разы ребёнок пересчитывает, потом начинает отвечать сразу.
Именно в этот момент — когда пересчёт перестаёт быть нужен — свойство и становится знанием. До этого оно остаётся правилом, которое помнят, но которому не вполне верят.
Отдельно стоит показать, что у одного числа прямоугольников бывает несколько, и не только два. Двенадцать укладывается и в 3 × 4, и в 2 × 6, и в 4 × 3, и в 6 × 2. А вот тринадцать не укладывается никак, кроме полосы в один ряд. Это уже разговор про делители, и он естественно вырастает из той же коробки — про него отдельная статья о разложении числа на множители.
Как закрепить в играх
Свойство усваивается не повторением правила, а количеством случаев, когда оно сработало.
«Прямоугольник умножения» — самая точная игра под эту тему: одно и то же число нужно собрать в коробку несколькими способами, и пары вроде 3 × 4 и 4 × 3 попадаются постоянно. Ребёнок не выучивает свойство, а натыкается на него сам, раз за разом.
«Таблица умножения» набирает скорость на самих фактах, а «Реши пример» перемешивает действия — там видно, не начал ли ребёнок переставлять числа в вычитании.
Другие игры на счёт — в разделе «Счёт и цифры», подборка по возрасту — на странице игр для детей 8 лет.
Что распечатать
Прямо по теме — «Таблица умножения: тренажёр»: там примеры идут вперемешку, и пары с переставленными множителями встречаются рядом.
Для наглядной части возьмите «Площадь в клеточках» — там прямоугольники считают по клеткам, и поворот на бок виден буквально. Это тот же приём, только записанный как площадь.
А когда таблица освоена, идут «Периметр и площадь: задачи» и «Цена, количество, стоимость»: в обоих умножение работает уже внутри задачи, а не отдельным примером.
Главное
Переместительное свойство сокращает таблицу умножения почти вдвое, но само по себе оно не открывается — его нужно показать.
Лучший способ показать — повернуть. Прямоугольник три на четыре, повёрнутый на бок, становится четыре на три, и клеток в нём столько же. Одно движение вместо определения.
И сразу ставьте границу: переставлять можно в сложении и умножении, нельзя в вычитании и делении. Без этой оговорки свойство расползается на всю арифметику и начинает вредить.
